Калькулятор преобразования Фурье
Что такое преобразование Фурье
Преобразование Фурье — это математический инструмент, который раскладывает сигнал на составляющие частоты. Любой периодический или непериодический сигнал можно представить как сумму синусоид с различными частотами, амплитудами и фазами. Это фундаментальная операция в обработке сигналов, физике и инженерии.
Из времени в частоту
Во временной области сигнал описывается как функция x(t) — амплитуда в каждый момент времени. Преобразование Фурье переводит сигнал в частотную область X(f), где каждая точка показывает, с какой интенсивностью присутствует данная частота. Это позволяет увидеть «скрытую» структуру сигнала, невидимую на временном графике.
Формула Эйлера
В основе преобразования Фурье лежит формула Эйлера: e^(j*theta) = cos(theta) + j*sin(theta). Комплексная экспонента позволяет компактно записать синусоидальные колебания. При вычислении DFT мы умножаем сигнал на комплексные экспоненты разных частот и суммируем — это корреляция сигнала с каждой частотной компонентой.
DFT и непрерывное FT
Непрерывное преобразование Фурье работает с аналоговыми сигналами бесконечной длительности. Дискретное преобразование Фурье (DFT) — его цифровой аналог для конечного набора из N отсчётов. DFT даёт N комплексных коэффициентов, описывающих частоты от 0 до частоты дискретизации. На практике используют только половину спектра — до частоты Найквиста.
Где применяется преобразование Фурье
От смартфонов до медицинских томографов — преобразование Фурье лежит в основе бесчисленного множества технологий.
Обработка аудио
Эквалайзеры, шумоподавление, сжатие MP3/AAC, распознавание речи, анализ музыки. Каждый аудиофайл на вашем устройстве обработан с помощью FFT. Алгоритмы типа Shazam находят мелодию, сравнивая спектры.
Сжатие изображений
JPEG использует дискретное косинусное преобразование (DCT) — близкий родственник DFT. Двумерное преобразование Фурье позволяет фильтровать пространственные частоты: убирать шум, повышать резкость, находить текстуры.
Телекоммуникации
OFDM-модуляция в Wi-Fi, 4G/5G, DVB-T целиком построена на FFT. Каждый символ данных передается на отдельной поднесущей частоте, а приемник выполняет обратное FFT для декодирования.
Вибрационный анализ
Контроль состояния подшипников, турбин, двигателей. Акселерометр записывает вибрацию, а FFT выявляет характерные частоты: дисбаланс ротора, износ зубьев, резонансные частоты конструкции.
Медицинская визуализация (МРТ)
Магнитно-резонансная томография собирает данные в k-пространстве (частотная область). Реконструкция изображения среза тела — это двумерное обратное преобразование Фурье. Без FFT МРТ было бы невозможным.
Финансовый анализ
Спектральный анализ временных рядов: выявление циклических компонент в ценах акций, сезонности продаж, бизнес-циклов экономики. Помогает отличить тренд от периодических колебаний и шума.
Математический аппарат/ формулы и теоремы
Ключевые формулы, лежащие в основе дискретного преобразования Фурье, а также связанные теоремы и алгоритмы.
Прямое ДПФ (DFT)
Преобразует N временных отсчётов x[n] в N частотных коэффициентов X[k].
X[k] = SUM(n=0..N-1) x[n] * exp(-j * 2 * pi * k * n / N)k = 0, 1, ..., N-1. Каждый X[k] — комплексное число с амплитудой |X[k]| и фазой arg(X[k]).
Обратное ДПФ (IDFT)
Восстанавливает временной сигнал из спектральных коэффициентов.
x[n] = (1/N) * SUM(k=0..N-1) X[k] * exp(+j * 2 * pi * k * n / N)Отличается от DFT знаком экспоненты (+ вместо -) и множителем 1/N.
Теорема Парсеваля
Энергия сигнала одинакова во временной и частотной областях.
SUM(n=0..N-1) |x[n]|^2 = (1/N) * SUM(k=0..N-1) |X[k]|^2Позволяет проверить корректность вычисления DFT и используется в расчете мощности сигнала.
Частотное разрешение и Найквист
Два фундаментальных ограничения дискретного спектрального анализа.
Delta_f = fs / N (частотное разрешение)
f_max = fs / 2 (частота Найквиста)Увеличение N повышает разрешение. Теорема Котельникова (Найквиста-Шеннона): fs должна быть вдвое больше максимальной частоты сигнала.
Алгоритм FFT (Кули-Тьюки)
Быстрое преобразование Фурье — алгоритм, вычисляющий DFT за O(N log N) вместо O(N^2).
X[k] = X_even[k] + W_N^k * X_odd[k]
X[k+N/2] = X_even[k] - W_N^k * X_odd[k]
W_N = exp(-j * 2 * pi / N) // поворотный множительРазбивает N-точечное DFT на два N/2-точечных. Работает оптимально при N = степень 2. Опубликован Кули и Тьюки в 1965 г.
Совет: для вещественного сигнала длины N спектр симметричен относительно N/2, поэтому информативна только первая половина (бины 0..N/2-1).
Важно: ДПФ предполагает, что сигнал периодически продолжается. Если на границах есть разрыв — возникает спектральная утечка. Оконные функции решают эту проблему.
Оконные функции
Оконные функции применяются к сигналу перед DFT для уменьшения спектральной утечки (spectral leakage). Каждое окно — это компромисс между шириной главного лепестка (частотное разрешение) и уровнем боковых лепестков (подавление помех от соседних частот).
Прямоугольное окно
w[n] = 1Фактически отсутствие окна. Самый узкий главный лепесток (лучшее разрешение), но высокие боковые лепестки (-13 дБ). Подходит, когда сигнал точно укладывается в целое число периодов или для анализа переходных процессов.
Окно Ханна (Hann)
0.5 * (1 - cos(2*pi*n/(N-1)))Самое популярное окно общего назначения. Боковые лепестки -31.5 дБ, главный лепесток вдвое шире прямоугольного. Отличный компромисс для большинства задач спектрального анализа. Иногда ошибочно называют «окно Хэннинга».
Окно Хэмминга (Hamming)
0.54 - 0.46 * cos(2*pi*n/(N-1))Модификация окна Ханна с оптимизированными коэффициентами для минимизации ближайшего бокового лепестка (-42.7 дБ). Широко используется в обработке речи и телекоммуникациях. Не достигает нуля на краях, что важно для overlap-add метода.
Окно Блэкмана (Blackman)
3 слагаемых ряда ФурьеИспользует три косинусных члена для подавления боковых лепестков до -58 дБ. Главный лепесток шире, чем у Ханна и Хэмминга. Применяется, когда нужно надежно выделить слабый сигнал рядом с сильным. Идеально для анализа музыкальных инструментов.
Практические советы
Рекомендации по эффективному использованию спектрального анализа в реальных задачах.
1Выбор частоты дискретизации
По теореме Котельникова-Шеннона (Найквиста), частота дискретизации fs должна быть как минимум вдвое больше максимальной частоты сигнала: fs > 2*f_max. На практике используют fs = (2.5...4)*f_max для запаса от помех алиасинга и фильтрации. Для аудио стандарт 44.1 кГц (слух до 20 кГц).
2Zero-padding для разрешения
Дополнение сигнала нулями (zero-padding) увеличивает N и уменьшает шаг по частоте Delta_f = fs/N. Это не добавляет новой информации, но интерполирует спектр между бинами, давая более гладкий график. Полезно для точного определения пиковой частоты.
3Спектральная утечка и окна
Если частота сигнала не кратна Delta_f, энергия «размазывается» по соседним бинам — это спектральная утечка (spectral leakage). Оконные функции (Hann, Hamming, Blackman) плавно обнуляют сигнал на краях, подавляя утечку ценой расширения главного лепестка.
4Предотвращение алиасинга
Алиасинг — ложные частоты, появляющиеся при недостаточной частоте дискретизации. Они неотличимы от «настоящих» и необратимы. Перед АЦП всегда используют аналоговый антиалиасинговый фильтр низких частот с частотой среза ниже fs/2.
5Метод overlap-add (OLA)
Для обработки длинных сигналов в реальном времени сигнал разбивают на перекрывающиеся блоки (обычно 50% перекрытие), каждый блок обрабатывается DFT отдельно, затем результаты складываются с учетом перекрытия. Метод OLA используется во всех аудиоредакторах и кодеках.
6Спектральный анализ в реальном времени
Спектрограмма (waterfall display) — последовательность спектров коротких окон, показанная как изображение (время по горизонтали, частота по вертикали, цвет = амплитуда). STFT (Short-Time Fourier Transform) — стандартный метод для анализа речи, музыки и нестационарных сигналов.
Как пользоваться калькулятором
Простая инструкция для выполнения спектрального анализа сигнала.
Задайте компоненты сигнала
На вкладке «Сигнал и спектр» добавьте синусоидальные компоненты: частоту (Hz), амплитуду и фазу (градусы). Можно добавить до 8 компонент.
Настройте параметры дискретизации
Выберите частоту дискретизации fs и количество отсчётов N. Помните: Delta_f = fs/N, а максимальная частота = fs/2 (Найквист).
Анализируйте спектр
Изучите графики: временную форму сигнала, спектр амплитуд, фазовый спектр и PSD. Наведите курсор для точных значений. Экспортируйте данные в CSV.
Примените оконные функции
На вкладке «Окна» сравните спектры с различными оконными функциями. Выберите окно, оптимальное для вашей задачи.
Часто задаваемые вопросы
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.
Похожие инструменты
Калькулятор технического обслуживания (ТОиР)
Расчёты ТОиР: MTBF/MTTR, планирование ТО, стоимость простоя, запчасти, предиктивное ТО
Шкала комы Глазго — калькулятор (GCS)
Оцените уровень сознания: открывание глаз, речевая и двигательная реакции. Баллы от 3 до 15. Для врачей скорой помощи.
Калькулятор знака зодиака и фазы луны по дате
Узнайте свой знак зодиака и лунную фазу по дате рождения. Астрологический расчет положения Солнца и Луны онлайн.
Калькулятор раскроя листового материала (Nesting)
Оптимизация раскроя листов. Расчет количества деталей, схемы резки и отходов с учетом ширины пропила (kerf).
Калькулятор гидравлики и пневматики
Расход, скорость потока, потери напора (Darcy-Weisbach), мощность насосов, профиль труб и утечки воздуха.
Калькулятор анализа сигналов и алгоритмов
Продвинутый калькулятор: спектральный анализ (FFT), решение задачи о рюкзаке и симуляция генетических алгоритмов.
Калькулятор CDN
Расчёты CDN: трафик, кеширование, задержка, видеостриминг, сравнение провайдеров, ROI
Калькулятор биомеханики: нагрузка на позвоночник, прыжок, бег и мышцы Хилла
Биомеханические расчёты: модель Чаффина, кинетика прыжка и бега, центр масс (Де Лева), сила удара, модель мышцы Хилла.
Калькулятор сна и циклов (время отбоя)
Рассчитайте идеальное время сна и пробуждения по циклам (90 минут). Перевод часов сна в годы жизни.
Калькулятор молекулярной массы
Молекулярная масса любого соединения. Формула (H2O, NaCl, C6H12O6) → масса и массовые доли элементов.
Калькулятор текстильного производства
Расчёты текстиля: пряжа, ткань, раскрой, крашение, себестоимость, качество
Калькулятор амортизации основных средств
Рассчитайте амортизацию по ФСБУ 6/2020 и НК РФ: линейный, уменьшаемого остатка, по сумме чисел лет. Сравнение методов и график начислений.
Калькулятор урожайности
Ожидаемая урожайность культур, потребность в семенах и удобрениях. Пшеница, картофель, кукуруза, овощи.
Калькулятор консалтинговых услуг (ставка, проект)
Рассчитайте часовую ставку консультанта, стоимость проекта, рентабельность и ROI. Сравнение с наймом штатного сотрудника.
Калькулятор молочного производства
Расчёт нормализации молока по правилу Пирсона, выход молочных продуктов (масло, сыр, творог), себестоимость производства по нормам ТР ТС 033/2013.