Калькулятор комплексных чисел

Выполняйте арифметические операции, находите модуль и аргумент, возводите в степень, извлекайте корни и переводите между формами записи с визуализацией на комплексной плоскости.

z\u2081 = a + bi

z\u2082 = c + di

Комплексная плоскость

Загрузка калькулятора...

Операций

Арифметика, модуль, аргумент, степень, корни

Формы записи

Алгебраическая, тригонометрическая, показательная

Знаков точности

Высокоточные вычисления с плавающей точкой

Визуализация

Интерактивная комплексная плоскость

Основы комплексных чисел

Что такое комплексные числа?

Комплексное число z = a + bi, где a -- действительная часть (Re), b -- мнимая часть (Im), а i -- мнимая единица. Комплексные числа расширяют множество действительных чисел и позволяют решать уравнения, не имеющие действительных корней, например x² + 1 = 0.

z = a + bi, где i² = -1

Мнимая единица i

Мнимая единица i определяется как число, квадрат которого равен -1. Это не абстракция -- она имеет конкретный геометрический смысл: умножение на i поворачивает вектор на комплексной плоскости на 90 градусов против часовой стрелки.

i² = -1

i³ = -i

i&sup4; = 1

ℂ

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость (диаграмма Аргана) -- это двумерное представление комплексных чисел. Горизонтальная ось -- действительная часть (Re), вертикальная -- мнимая (Im). Каждому числу z соответствует точка (a, b) или вектор из начала координат.

Полярные координаты:

r = |z| = √(a² + b²)

θ = arg(z) = atan2(b, a)

Где применяются комплексные числа?

Комплексные числа -- это не абстракция. Они лежат в основе множества прикладных областей науки и техники.

⚡

Электротехника

Анализ цепей переменного тока. Импеданс, фазовые сдвиги, мощность -- всё описывается комплексными числами. Формула Z = R + jX является стандартом.

⚛

Квантовая механика

Волновая функция ψ является комплекснозначной. Уравнение Шрёдингера фундаментально основано на комплексной арифметике и унитарных преобразованиях.

⚙

Теория управления

Передаточные функции, диаграммы Найквиста и Боде, анализ устойчивости по критерию Рауса-Гурвица -- всё это язык комплексных чисел.

♫

Цифровая обработка сигналов

Преобразование Фурье, z-преобразование, проектирование фильтров. Частотный спектр сигнала -- это комплекснозначная функция частоты.

✈

Аэродинамика

Конформные отображения (преобразование Жуковского) позволяют рассчитывать обтекание крыла самолёта, используя функции комплексного переменного.

✸

Фракталы и компьютерная графика

Множества Мандельброта и Жюлиа определяются итерацией z_{n+1} = z_n² + c на комплексной плоскости. Генерация фрактальных изображений.

Формулы и операции

Арифметические операции

Сложение

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

Вычитание

(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Умножение

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Деление

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i

Модуль и аргумент

Модуль

|z| = √(a² + b²)

Расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости.

Аргумент

arg(z) = atan2(b, a)

Угол между положительной вещественной осью и вектором z.

Степень и корни (формула Муавра)

Возведение в степень

zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i·sin(nθ))

Извлечение корня

ⁿ√z = r^1/n(cos((θ+2kπ)/n) + i·sin((θ+2kπ)/n))

k = 0, 1, ..., n-1 — даёт n различных корней.

Формы записи комплексного числа

Алгебраическая

z = a + bi

Тригонометрическая

z = r(cosθ + i·sinθ)

Показательная

z = re^iθ

Продвинутые темы

Формула Эйлера

Связь между экспоненциальной функцией и тригонометрией -- одна из красивейших формул математики. Связывает пять фундаментальных констант: e, i, π, 1 и 0.

e^iπ + 1 = 0

∑

Ряды Лорана

Обобщение рядов Тейлора для функций комплексного переменного. Содержит как положительные, так и отрицательные степени. Ключевой инструмент для анализа особых точек и вычисления вычетов.

f(z) = ∑ a_n(z - z₀)ⁿ, n ∈ &integers;

Конформные отображения

Аналитические функции комплексного переменного сохраняют углы между кривыми. Это свойство используется в аэродинамике, электростатике, теории упругости и картографии.

Примеры:

w = z², w = 1/z, w = e^z, w = (z+1/z)/2

Кватернионы

Расширение комплексных чисел до 4 измерений: q = a + bi + cj + dk, где i² = j² = k² = ijk = -1. Используются в 3D-графике, робототехнике и навигации для представления вращений без проблемы шарнирного замка (gimbal lock).

q = a + bi + cj + dk

Практические советы

Деление -- через сопряжённое

Чтобы разделить комплексные числа, умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя. Это устраняет мнимую часть в знаменателе.

Умножение проще в полярной форме

При умножении в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются: |z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂).

Используйте atan2, а не atan

Функция atan2(b, a) правильно определяет квадрант аргумента, в отличие от обычного арктангенса, который даёт значение только в (-π/2, π/2).

Проверяйте корни подстановкой

После вычисления корней n-й степени подставьте каждый корень обратно в уравнение w^n = z и убедитесь, что равенство выполняется с учётом точности.

Геометрическая интерпретация

Всегда визуализируйте результат на комплексной плоскости. Сложение -- это параллелограмм, умножение -- поворот и масштабирование, сопряжение -- отражение относительно оси Re.

Корни равномерно распределены

Все n корней n-й степени из z расположены на окружности радиуса |z|^(1/n) и равномерно распределены с шагом 2π/n. Это удобно для проверки.

Как пользоваться калькулятором

Выберите вкладку

Определите, что вам нужно: арифметика двух чисел, свойства одного числа, возведение в степень / извлечение корней или преобразование формы записи.

Введите данные

Укажите действительную и мнимую части комплексного числа (или модуль и аргумент для обратного преобразования). Для операций с двумя числами заполните оба поля.

Нажмите "Вычислить"

Калькулятор мгновенно выполнит расчёт и покажет результат во всех трёх формах записи: алгебраической, тригонометрической и показательной.

Изучите визуализацию

На комплексной плоскости справа отображаются все числа: исходные, сопряжённые и результаты. Это помогает интуитивно понять результат операции.

Часто задаваемые вопросы

Комплексное число -- это пара двух обычных (действительных) чисел, записанная как a + bi, где a -- вещественная часть, b -- мнимая часть, а i -- специальная единица, квадрат которой равен -1. Это расширение обычных чисел, которое позволяет решать уравнения вроде x² + 1 = 0.

Алгебраическая форма (a + bi) удобна для сложения и вычитания. Тригонометрическая r(cosθ + i·sinθ) и показательная re^{iθ} удобны для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней, так как модули перемножаются, а аргументы складываются.

Используется формула Муавра. Корень n-й степени из числа z = r·e^{iθ} имеет n значений: w_k = r^{1/n} · e^{i(θ+2πk)/n}, k = 0, 1, ..., n-1. Все корни лежат на окружности радиуса r^{1/n} и равномерно распределены по углу.

Калькулятор использует 64-битную арифметику с плавающей точкой (стандарт IEEE 754). Результаты округляются до 10 значащих цифр. Для абсолютного большинства инженерных и учебных задач такой точности более чем достаточно.

Модуль |z| = √(a² + b²) -- это расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости (длина вектора). Аргумент arg(z) -- это угол (в радианах) между положительной действительной осью и вектором z, измеренный против часовой стрелки.

Да, при условии, что делитель не равен нулю (z₂ ≠ 0). Деление выполняется умножением числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c²+d²).

Сопряжённое к z = a + bi обозначается z̄ = a - bi. Геометрически это отражение точки относительно действительной оси. Свойство: z · z̄ = |z|², что всегда даёт неотрицательное действительное число.

Формула Муавра утверждает, что (cosθ + i·sinθ)^n = cos(nθ) + i·sin(nθ). Для произвольного z = r(cosθ + i·sinθ) возведение в степень: z^n = r^n(cos(nθ) + i·sin(nθ)). Модуль возводится в степень, аргумент умножается на n.

Да. Калькулятор показывает результаты во всех формах записи и визуализирует их на комплексной плоскости, что помогает глубже понять геометрический смысл операций. Рекомендуется для студентов, изучающих высшую математику, ТФКП и физику.

Это следствие основной теоремы алгебры: уравнение w^n = z степени n имеет ровно n корней в поле комплексных чисел (с учётом кратности). Корни равномерно расположены на окружности, разделяя её на n равных дуг с угловым шагом 2π/n.

Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».

⚖️

Отказ от ответственности

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.

Калькулятор комплексных чисел

z\u2081 = a + bi

z\u2082 = c + di

Комплексная плоскость

Основы комплексных чисел

Что такое комплексные числа?

Мнимая единица i

Комплексная плоскость

Где применяются комплексные числа?

Электротехника

Квантовая механика

Теория управления

Цифровая обработка сигналов

Аэродинамика

Фракталы и компьютерная графика

Формулы и операции

Арифметические операции

Модуль и аргумент

Степень и корни (формула Муавра)

Формы записи комплексного числа

Продвинутые темы

Формула Эйлера

Ряды Лорана

Конформные отображения

Кватернионы

Практические советы

Деление -- через сопряжённое

Умножение проще в полярной форме

Используйте atan2, а не atan

Проверяйте корни подстановкой

Геометрическая интерпретация

Корни равномерно распределены

Как пользоваться калькулятором

Выберите вкладку

Введите данные

Нажмите "Вычислить"

Изучите визуализацию

Часто задаваемые вопросы

Лиана Арифметова

Отказ от ответственности

Похожие инструменты

Калькулятор времени цикла и переналадки (Setup vs Cycle)

Калькулятор тригонометрии

Калькулятор API Rate Limit (quota)

Калькулятор инвестиционных стратегий

Калькулятор микологии

Калькулятор углеродного следа (CO2)

Калькулятор сварки

Калькулятор реабилитации: Бартел, Рэнкин, FIM, Берг и 6MWT

Калькулятор ABSI (индекс формы тела)

Калькулятор спортивной психологии: Йеркс-Додсон, RPE, выгорание и POMS

Калькулятор газы (PV=nRT): идеальный газ и Ван-дер-Ваальс

Калькулятор воды (норма воды в день)

Калькулятор IQ и коэффициента интеллекта

Калькулятор качества воздуха: ИЗА, AQI, ПДК, вентиляция и суммация

Калькулятор интервального голодания

z\u2081 = a + bi

z\u2082 = c + di

Комплексная плоскость