Преобразование Лапласа
Что такое преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа переводит функцию из временной области f(t) в комплексно-частотную область F(s), где s = σ + jω. Это позволяет заменить дифференциальные уравнения алгебраическими, что радикально упрощает анализ линейных систем. Метод является основой теории автоматического управления (ТАУ), анализа электрических цепей и обработки сигналов.
Интегральное преобразование
Прямое преобразование определяется интегралом L{f(t)} = ∫0∞ f(t)e-stdt, где s — комплексная переменная. Обратное преобразование восстанавливает f(t) из F(s) через интеграл Бромвича по контуру в комплексной плоскости. На практике для обращения используют таблицы и метод разложения на простые дроби.
Связь с преобразованием Фурье
Преобразование Фурье — это частный случай преобразования Лапласа при s = jω (чисто мнимая переменная). Лаплас работает с более широким классом функций, включая растущие экспоненты, и добавляет информацию о затухании (σ). Если система устойчива, её частотная характеристика совпадает с F(jω).
Область применения
Преобразование Лапласа незаменимо в теории автоматического управления (ТАУ), анализе электрических и электронных цепей, механике, теории колебаний, обработке сигналов. Оно позволяет анализировать устойчивость систем, проектировать регуляторы (ПИД), рассчитывать переходные процессы и частотные характеристики.
Математический аппарат/ формулы и свойства
Ключевые формулы, свойства и теоремы преобразования Лапласа, необходимые для анализа систем и решения задач ТАУ.
Прямое преобразование Лапласа
Переводит функцию времени f(t) в функцию комплексной переменной F(s).
F(s) = L{f(t)} = ∫0∞ f(t) · e-st dt, s = σ + jωИнтеграл сходится при Re(s) > σ0 (абсцисса сходимости). Область сходимости (ROC) определяет допустимые значения s.
Обратное преобразование (интеграл Бромвича)
Восстанавливает f(t) из F(s) по контуру в комплексной плоскости.
f(t) = L-1{F(s)} = (1/2πj) ∫c-j∞c+j∞ F(s) · est dsНа практике используют таблицу пар + разложение на простые дроби. Прямое вычисление интеграла Бромвича требуется редко.
Основные свойства
L{af + bg} = aF(s) + bG(s)L{f'(t)} = sF(s) - f(0)L{∫f(t)dt} = F(s)/sL{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)·F(s)L{e^(at)f(t)} = F(s-a)L{f*g} = F(s)·G(s)f(0+) = lim(s→∞) sF(s)f(∞) = lim(s→0) sF(s)Ключевые пары преобразований
| f(t), t ≥ 0 | F(s) |
|---|---|
| δ(t) | 1 |
| u(t) = 1 | 1/s |
| t | 1/s² |
| t^n | n!/s^(n+1) |
| e^(at) | 1/(s-a) |
| sin(ωt) | ω/(s²+ω²) |
| cos(ωt) | s/(s²+ω²) |
| e^(at)·sin(ωt) | ω/((s-a)²+ω²) |
| e^(at)·cos(ωt) | (s-a)/((s-a)²+ω²) |
Совет: для обратного преобразования рациональной F(s) разложите её на простые дроби вида A/(s-p), затем каждая дробь соответствует экспоненте Aept.
Важно: теорема конечного значения lim f(t) = lim sF(s) работает только если система устойчива (все полюса sF(s) в левой полуплоскости).
Передаточная функция H(s)
Передаточная функция — это отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях: H(s) = Y(s)/X(s). Она полностью характеризует линейную стационарную систему (ЛСС) и является центральным понятием теории автоматического управления.
Структура H(s)
N(s)/D(s)H(s) = N(s)/D(s), где N(s) и D(s) — полиномы по s. Нули числителя — нули системы, корни знаменателя — полюса. Степень знаменателя определяет порядок системы. Для физически реализуемой системы порядок числителя не превышает порядок знаменателя.
Обратная связь
Замкнутая системаДля системы с единичной отрицательной обратной связью передаточная функция замкнутой системы: W(s) = H(s)/(1 + H(s)). Полюса замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + H(s) = 0. Именно их расположение определяет устойчивость.
Звено 1-го порядка
W(s) = K/(Ts + 1)Апериодическое звено: один полюс p = -1/T. Постоянная времени T определяет скорость переходного процесса (63% от установившегося значения за время T). K — коэффициент передачи. Примеры: RC-цепь, термопара, резервуар с жидкостью.
Звено 2-го порядка
W(s) = ωn²/(s² + 2ζωns + ωn²)Колебательное звено с параметрами: ωn — собственная частота, ζ — коэффициент демпфирования. При ζ < 1 — колебательный переходный процесс, ζ = 1 — критическое демпфирование, ζ > 1 — два вещественных полюса. Примеры: пружинно-демпферная система, RLC-контур.
Практические советы
Рекомендации по эффективному использованию преобразования Лапласа в инженерных задачах.
1Метод простых дробей
Для обратного преобразования разложите F(s) на простые дроби: A/(s-p1) + B/(s-p2) + ... Каждая дробь соответствует табличной паре. Для комплексных полюсов группируйте сопряжённые пары и приводите к виду с синусом/косинусом. Для кратных полюсов используйте дроби вида A/(s-p)k.
2s-область vs временная область
Используйте s-область для анализа устойчивости, нахождения передаточной функции и проектирования регуляторов. Временную область — для проверки переходных процессов и моделирования. Частотная область (s = jω) — для построения ЛАЧХ/ЛФЧХ и анализа запаса устойчивости.
3Идентификация системы
По экспериментальной переходной характеристике можно определить параметры системы: постоянные времени (по касательной), перерегулирование (пик отклика), время переходного процесса, частоту колебаний. Эти данные позволяют подобрать модельную передаточную функцию.
4Настройка ПИД-регулятора
ПИД-регулятор в s-области: C(s) = Kp + Ki/s + Kds. Пропорциональная часть задаёт быстродействие, интегральная устраняет статическую ошибку (добавляет полюс в начале координат), дифференциальная демпфирует колебания. Метод размещения полюсов позволяет рассчитать коэффициенты аналитически.
5Численное обратное преобразование
Для сложных F(s), не раскладываемых на простые дроби, используют алгоритм Тальбота или Стехфеста. В MATLAB: ilaplace(F) для символьного, impulse(sys) для численного. В Python: scipy.signal.impulse() или sympy.inverse_laplace_transform().
6MATLAB и Python
MATLAB: tf([num], [den]), bode(sys), step(sys), pole(sys), zero(sys), rlocus(sys). Python (scipy.signal): lti([num], [den]), bode(), step(), impulse(). SymPy: laplace_transform(), inverse_laplace_transform() для аналитических расчётов. Наш калькулятор выполняет те же базовые операции прямо в браузере.
Как пользоваться калькулятором
Три режима работы для полного анализа систем в s-области.
Найдите пару в таблице
На вкладке «Таблица» найдите нужную функцию f(t) с помощью поиска или фильтра по категориям. Кликните на строку для подробного описания и копирования пары.
Вычислите F(s)
На вкладке «Калькулятор» выберите тип функции, задайте параметры (a, ω, n). Получите F(s), полюса, нули и график f(t) во временной области.
Анализируйте H(s)
На вкладке «Передаточная функция» введите коэффициенты числителя и знаменателя. Получите полюса, нули, диаграмму Боде, переходную и импульсную характеристики.
Оцените устойчивость
Проверьте расположение полюсов на s-плоскости. Все полюса в левой полуплоскости — система устойчива. Для 2-го порядка оцените ζ и ωn для качества переходного процесса.
Часто задаваемые вопросы
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.
Похожие инструменты
Калькулятор CSS единиц (PX, REM, EM, %)
Конвертер пикселей в rem/em и генератор calc(). Удобный инструмент для верстки и адаптивного дизайна.
Калькулятор механики (физика)
Универсальный калькулятор физики: скорость, ускорение, сила (F=ma), момент силы, энергия, работа и мощность. Все формулы в одном месте.
Калькулятор торгового финансирования (аккредитив, факторинг)
Расчёт стоимости аккредитива (UCP 600), факторинга, форфейтинга и банковской гарантии. Сравнение инструментов торгового финансирования для ВЭД.
Калькулятор аннуитетов (PV, FV, рента)
Рассчитайте приведенную и будущую стоимость аннуитета, размер платежа, растущую ренту и бессрочную ренту. Пренумерандо и постнумерандо.
Калькулятор стоимости обучения и налогового вычета
Расчёт полной стоимости обучения в российских вузах, налоговый вычет 13% (лимит 150 000 руб./год с 2024), сравнение вузов и перевод на бюджет.
Калькулятор FIRE (финансовая независимость)
Когда достичь финансовой независимости. Правило 4%, коэффициент накоплений, пассивный доход.
Калькулятор эмбриологии
Оценка эмбрионов по Гарднеру, гестационный возраст, прогноз ЭКО, рост фолликулов, морфология сперматозоидов, криоконсервация.
Калькулятор СЛАУ (метод Гаусса)
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса онлайн. Подробный ход решения матричным методом.
Калькулятор туриста: бюджет, валюта и виза
Конвертер валют, расчет бюджета поездки и стоимости визы/страховки. Универсальный инструмент планирования путешествий.
Калькулятор психологии здоровья: стресс Холмса-Раэ, копинг и качество жизни
Расчёты психологии здоровья: шкала стресса Холмса-Раэ, модель убеждений о здоровье, стадии Прохазки, копинг Лазаруса, EQ-5D, HLI.
Калькулятор переработки отходов: вес, деньги, эко-след
Посчитайте вес отходов, потенциальный доход от сдачи вторсырья и ваш вклад в экологию (CO2, деревья).
Калькулятор точного земледелия
Расчёт норм внесения удобрений, высева, СЗР и экономии ресурсов при дифференцированном подходе. ROI от GPS, дронов и датчиков.
Генератор паролей (безопасный)
Создать надежный пароль онлайн. Настройка длины, символов. Оценка сложности и энтропии.
Калькулятор теплоизоляции (R-значение, U-значение)
Расчет толщины утеплителя и конвертер R-value ↔ U-value. Таблица теплопроводности материалов (минвата, пенопласт и др).
Калькулятор времени скачивания и скорости (bandwidth)
Рассчитайте время загрузки файла, узнайте какая скорость нужна для скачивания за определенное время. Калькулятор интернета.