Калькулятор СЛУ методом Гаусса
Система линейных уравнений (СЛУ)
Система линейных уравнений — это совокупность уравнений, где каждое уравнение первой степени относительно переменных. Формально она имеет вид:
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
В профессиональной практике система записывается в матричном виде Ax = b, где:
- A — матрица коэффициентов системы;
- x — вектор неизвестных;
- b — вектор свободных членов.
Для применения метода Гаусса используется расширенная матрица [A|b], с которой и работает данный калькулятор.
Метод Гаусса
Метод Гаусса — это алгоритм решения СЛУ, основанный на приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Это "золотой стандарт" в вычислительной линейной алгебре.
Алгоритм состоит из двух этапов:
- Прямой ход (Forward Elimination): Приведение матрицы к верхнетреугольному (ступенчатому) виду. Мы последовательно исключаем неизвестные из уравнений.
- Обратный ход (Back Substitution): Нахождение неизвестных, двигаясь от последнего уравнения к первому.
ℹ️Элементарные преобразования
- Перестановка двух строк местами.
- Умножение строки на ненулевое число.
- Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.
Эти операции не меняют множество решений системы.
История и стандарты
Хотя метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса, его идеи использовались еще в древнем Китае (метод «прямоугольных таблиц»). Сегодня это базовый алгоритм в MATLAB, NumPy/LAPACK и инженерных CAD-системах.
Численная устойчивость
Профессиональные реализации используют выбор главного элемента (pivoting) — на каждом шаге выбирается коэффициент с наибольшим модулем. Это минимизирует ошибки округления в компьютерах. Наш калькулятор реализует эту стратегию.
Ступенчатый вид
Ключевое состояние матрицы, по которому определяется ранг системы и её совместность. Нулевые строки (если есть) оказываются внизу.
Типы решений системы
Калькулятор автоматически классифицирует систему на основе анализа рангов матрицы коэффициентов (rang A) и расширенной матрицы (rang A|B).
Единственное решение
Совместная и определённая
rang(A) = rang(A|B) = nБесконечно решений
Совместная и неопределённая
rang(A) = rang(A|B) < nНет решений
Несовместная система
rang(A) < rang(A|B)Сравнение методов
Почему метод Гаусса является основным инструментом профессионалов.
vs Крамер
Метод Крамера требует вычисления n+1 определителей. При n=10 это миллионы операций. Гаусс справляется мгновенно. Крамер неприменим для неквадратных систем.
vs Гаусс-Жордан
Гаусс-Жордан приводит матрицу к диагональному виду. Это требует больше операций (примерно в 1.5 раза). Гаусс эффективнее благодаря обратному ходу.
vs LU-разложение
LU — это по сути "запомненный" ход метода Гаусса. Если нужно решать одну систему много раз с разными "b", LU выигрывает. Для одной системы — паритет.
vs Обратная матрица
Решение через X = A⁻¹B численно менее устойчиво и требует больше операций, чем прямое решение методом Гаусса.
Практическое применение
Часто задаваемые вопросы
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.
Похожие инструменты
Калькулятор FIRE (финансовая независимость)
Когда достичь финансовой независимости. Правило 4%, коэффициент накоплений, пассивный доход.
Калькулятор загрузки строительного лифта / подъемника
Расчет допустимой нагрузки на строительный лифт или подъемник. Учет веса рабочих, материалов и коэффициента запаса.
Калькулятор психофизики: Вебер-Фехнер, Стивенс, d-prime и время реакции
Психофизические расчёты онлайн: закон Вебера-Фехнера, степенной закон Стивенса, теория обнаружения сигнала (d′), закон Хика.
Калькулятор гляциологии
Масс-баланс ледника, водный эквивалент снега SWE, закон течения Глена, толщина льда, ELA, вклад в подъём уровня моря.
Калькулятор бережливого производства (Lean)
Расчёты Lean: время такта, OEE, канбан, 5S аудит, SMED, VSM метрики
Калькулятор веб-производительности: бюджет страницы, изображения, JS-бандл, CWV
Комплексный калькулятор веб-производительности: бюджет веса страницы (3G/4G/Broadband), оптимизация изображений (WebP/AVIF, responsive), анализ JS-бандла (parse/compile, code-splitting, tree-shaking), критический путь рендеринга (TTFB, FCP), стратегия кэширования (CDN, TTL) и трекер Core Web Vitals (LCP, FID, CLS, TTI, TBT, Lighthouse score).
Калькулятор маятника
Период и частота простого и физического маятника. Формула T=2π√(L/g), определение длины нити по периоду.
Калькулятор IQ и коэффициента интеллекта
Оценка IQ по баллу теста (Векслер, Равен, Кеттел), расчёт перцентиля и g-фактора. Краткий ориентировочный тест на интеллект. Норма 100±15.
Калькулятор робототехники
Расчёты робототехники: кинематика, приводы, траектории, захваты, энергопотребление, экономика
Калькулятор CSS единиц (PX, REM, EM, %)
Конвертер пикселей в rem/em и генератор calc(). Удобный инструмент для верстки и адаптивного дизайна.
Калькулятор эпидемиологии
Относительный риск RR, отношение шансов OR, NNT, чувствительность/специфичность, R₀, размер выборки для исследований.
Калькулятор рекомпозиции тела
Рассчитайте план питания для одновременного снижения жира и набора мышц. Калории, БЖУ, тренировочные дни и дни отдыха.
Калькулятор психологии развития: Эриксон, Эльконин, Пиаже и вехи развития
Расчёты психологии развития: стадии Эриксона, периодизация Эльконина, когнитивное развитие Пиаже, психомоторные вехи, скорректированный возраст.
Генератор хешей MD5 и SHA (онлайн)
Создать хеш MD5, SHA-1, SHA-256, SHA-512 онлайн. Генератор контрольных сумм для текста и паролей.
Калькулятор конвертации форматов файлов
Изменение размера при конвертации: BMP vs JPG, WAV vs MP3, RAW vs MP4. Lossless и Lossy сжатие.