Калькулятор векторов
Основы векторной алгебры
Что такое вектор?
Вектор -- это направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. В координатном представлении двумерный вектор задаётся парой чисел (x, y), а трёхмерный -- тройкой (x, y, z).
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов -- число, равное сумме попарных произведений координат. Геометрически оно связано с углом между векторами и используется для определения проекций, работы силы и ортогональности.
Векторное произведение
Определено только в трёхмерном пространстве. Результатом является новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Где применяются вектора
Векторная алгебра -- универсальный инструмент в науке и технике.
Физика и механика
Сложение сил, расчёт момента силы (через векторное произведение), работа силы (через скалярное произведение), скорости и ускорения.
3D-графика и GameDev
Повороты объектов, расчёт нормалей к поверхности, освещение (модель Фонга), камера и перспективная проекция.
Робототехника
Кинематика манипуляторов, планирование траектории, ориентация звеньев в пространстве, обратная кинематика.
Навигация и геодезия
Определение курса, расстояния между точками на сфере, вектор скорости ветра, триангуляция.
Инженерия и строительство
Расчёт равнодействующей нагрузок, анализ напряжений, проектирование конструкций, аэродинамика.
Machine Learning
Вектора признаков, word2vec-эмбеддинги, косинусная близость, градиентный спуск, ядра SVM.
Справочник формул
Полный набор формул для работы с векторами в двух и трёх измерениях.
Сложение и вычитание
Умножение на скаляр
При k < 0 вектор меняет направление на противоположное.
Длина (модуль) вектора
Для 2D: |A| = sqrt(ax² + ay²)
Единичный вектор (орт)
Вектор длины 1, сонаправленный с исходным.
Скалярное произведение
Векторное произведение (3D)
az·bx - ax·bz,
ax·by - ay·bx)
Угол между векторами
Проекция A на B
Площадь параллелограмма и треугольника
Углублённые темы
Вектора -- фундамент высшей математики и современной физики.
Векторные пространства
Абстрактное обобщение понятия вектора. Множество объектов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие аксиомам (замкнутость, ассоциативность, существование нуля и обратного).
Собственные векторы и значения
Собственный вектор матрицы A -- это ненулевой вектор v, для которого Av = lambda*v. Число lambda -- собственное значение. Используются в PCA, анализе устойчивости, квантовой механике.
Тензоры
Обобщение скаляров (тензор ранга 0), векторов (ранга 1) и матриц (ранга 2) на произвольный ранг. Тензоры описывают напряжения, деформации, электромагнитное поле (тензор Фарадея) и метрику пространства-времени.
Кватернионы
Расширение комплексных чисел с тремя мнимыми единицами (i, j, k). Кватернионы -- наиболее эффективный способ представления вращений в 3D-пространстве. Не подвержены проблеме gimbal lock (в отличие от углов Эйлера).
Практические советы
Полезные рекомендации для работы с векторами.
Проверяйте ортогональность
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, они перпендикулярны. Это быстрая проверка без вычисления угла.
Нормализуйте перед сравнением
Для сравнения направлений приведите вектора к единичной длине. Косинусная близость -- стандарт в ML и NLP.
Используйте правило правой руки
Для определения направления векторного произведения: четыре пальца от A к B, большой палец -- направление A x B.
Помните о некоммутативности
Векторное произведение антикоммутативно: A x B = -(B x A). Порядок множителей меняет знак результата.
Декомпозиция по базису
Любой вектор можно разложить по базисным: v = v_x*i + v_y*j + v_z*k. Это основа координатного метода.
Площадь через модуль
Модуль векторного произведения -- площадь параллелограмма. Половина -- площадь треугольника. Удобно в вычислительной геометрии.
Как пользоваться калькулятором
Выберите размерность
Переключите режим между 2D и 3D с помощью кнопок в верхней части калькулятора. В 2D-режиме координата Z не используется.
Введите координаты векторов
Заполните поля X, Y (и Z для 3D) для вектора A и, при необходимости, вектора B. Можно использовать целые и дробные числа.
Выберите операцию
Нажмите на нужную операцию: сложение, произведение, длина, угол и другие. Для 3D доступны дополнительные операции (векторное произведение, площадь).
Получите результат
Нажмите "Рассчитать". Вы увидите числовой результат, пошаговое решение с формулами и графическую визуализацию векторов (для 2D).
Часто задаваемые вопросы
Похожие инструменты
Калькулятор теории IRT (Раш, 2PL, 3PL)
Расчёт кривых ICC, информационных функций пунктов (IIF) и теста (TIF) по моделям Раша, 2PL и 3PL. Для ЕГЭ, PISA, адаптивного тестирования.
Калькулятор углеводной загрузки
Расчёт углеводной загрузки для марафона и спортивного питания. Граммы углеводов по дням.
Калькулятор сейсмических нагрузок: СП 14.13330, ОСР-2015
Расчёт сейсмических нагрузок по СП 14.13330: линейно-спектральный метод, динамичность, распределение по этажам.
Совместимость групп крови
Таблица совместимости групп крови при переливании. Резус-конфликт при беременности, наследование группы крови ребёнка.
Калькулятор App Store: доход, ASO, UA, удержание и монетизация
Комплексный калькулятор для мобильных приложений: расчёт дохода (IAP, подписки, платные загрузки), ASO-оптимизация (ключевые слова, скриншоты, рейтинг), стоимость привлечения (CPI, ROAS), анализ удержания (Day 1/7/30/90), размер приложения и сравнение моделей монетизации. Поддержка RuStore и AppGallery.
Валидатор ОГРН/ОГРНИП
Проверка контрольной суммы ОГРН (13 цифр) и ОГРНИП (15 цифр) с расшифровкой структуры: тип, год, регион.
Калькулятор площади поражения кожи (PASI, SCORAD)
Расчёт PASI (псориаз), SCORAD (атопический дерматит), площади поражения кожи BSA. Оценка тяжести кожных заболеваний.
Калькулятор рыбалки: снасти, прикормка, нормы вылова
Калькулятор для рыбаков. Подбор снастей, расчёт прикормки, нормы вылова по регионам, снаряжение и бюджет поездки.
Калькулятор белка на кг массы тела
Расчёт суточной нормы белка по весу тела. Для спорта, похудения, набора мышечной массы.
Калькулятор размера одежды по меркам
Определение размера одежды по обхвату груди, талии и бёдер. Размеры RU, EU, US, UK, INT, CN.
Калькулятор тарифов такси, каршеринга и амортизации авто
Сравните стоимость поездки на такси, каршеринге и личном авто. Узнайте расходы на топливо и потерю стоимости автомобиля (амортизацию).
Калькулятор нормы холестерина
Расчёт нормы холестерина: ЛПНП, ЛПВП, триглицериды по возрасту и полу. Индекс атерогенности.
Калькулятор соотношения талии к бедрам (WHR)
Рассчитайте индекс талия/бедра (WHR) для оценки типа фигуры и рисков метаболического синдрома.
Калькулятор PPI и DPI (плотность пикселей)
Рассчитайте PPI экрана, размер пикселя и физические размеры монитора/телефона. Конвертер пикселей в сантиметры.
Калькулятор компоста: C:N соотношение и объём
Расчёт соотношения углерода к азоту (C:N) для компостной смеси, объёма компоста и времени созревания. Для садоводов России.
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Был ли этот калькулятор полезен?
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.