Калькулятор векторов
Основы векторной алгебры
Что такое вектор?
Вектор -- это направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. В координатном представлении двумерный вектор задаётся парой чисел (x, y), а трёхмерный -- тройкой (x, y, z).
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов -- число, равное сумме попарных произведений координат. Геометрически оно связано с углом между векторами и используется для определения проекций, работы силы и ортогональности.
Векторное произведение
Определено только в трёхмерном пространстве. Результатом является новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Где применяются вектора
Векторная алгебра -- универсальный инструмент в науке и технике.
Физика и механика
Сложение сил, расчёт момента силы (через векторное произведение), работа силы (через скалярное произведение), скорости и ускорения.
3D-графика и GameDev
Повороты объектов, расчёт нормалей к поверхности, освещение (модель Фонга), камера и перспективная проекция.
Робототехника
Кинематика манипуляторов, планирование траектории, ориентация звеньев в пространстве, обратная кинематика.
Навигация и геодезия
Определение курса, расстояния между точками на сфере, вектор скорости ветра, триангуляция.
Инженерия и строительство
Расчёт равнодействующей нагрузок, анализ напряжений, проектирование конструкций, аэродинамика.
Machine Learning
Вектора признаков, word2vec-эмбеддинги, косинусная близость, градиентный спуск, ядра SVM.
Справочник формул
Полный набор формул для работы с векторами в двух и трёх измерениях.
Сложение и вычитание
Умножение на скаляр
При k < 0 вектор меняет направление на противоположное.
Длина (модуль) вектора
Для 2D: |A| = sqrt(ax² + ay²)
Единичный вектор (орт)
Вектор длины 1, сонаправленный с исходным.
Скалярное произведение
Векторное произведение (3D)
az·bx - ax·bz,
ax·by - ay·bx)
Угол между векторами
Проекция A на B
Площадь параллелограмма и треугольника
Углублённые темы
Вектора -- фундамент высшей математики и современной физики.
Векторные пространства
Абстрактное обобщение понятия вектора. Множество объектов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие аксиомам (замкнутость, ассоциативность, существование нуля и обратного).
Собственные векторы и значения
Собственный вектор матрицы A -- это ненулевой вектор v, для которого Av = lambda*v. Число lambda -- собственное значение. Используются в PCA, анализе устойчивости, квантовой механике.
Тензоры
Обобщение скаляров (тензор ранга 0), векторов (ранга 1) и матриц (ранга 2) на произвольный ранг. Тензоры описывают напряжения, деформации, электромагнитное поле (тензор Фарадея) и метрику пространства-времени.
Кватернионы
Расширение комплексных чисел с тремя мнимыми единицами (i, j, k). Кватернионы -- наиболее эффективный способ представления вращений в 3D-пространстве. Не подвержены проблеме gimbal lock (в отличие от углов Эйлера).
Практические советы
Полезные рекомендации для работы с векторами.
Проверяйте ортогональность
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, они перпендикулярны. Это быстрая проверка без вычисления угла.
Нормализуйте перед сравнением
Для сравнения направлений приведите вектора к единичной длине. Косинусная близость -- стандарт в ML и NLP.
Используйте правило правой руки
Для определения направления векторного произведения: четыре пальца от A к B, большой палец -- направление A x B.
Помните о некоммутативности
Векторное произведение антикоммутативно: A x B = -(B x A). Порядок множителей меняет знак результата.
Декомпозиция по базису
Любой вектор можно разложить по базисным: v = v_x*i + v_y*j + v_z*k. Это основа координатного метода.
Площадь через модуль
Модуль векторного произведения -- площадь параллелограмма. Половина -- площадь треугольника. Удобно в вычислительной геометрии.
Как пользоваться калькулятором
Выберите размерность
Переключите режим между 2D и 3D с помощью кнопок в верхней части калькулятора. В 2D-режиме координата Z не используется.
Введите координаты векторов
Заполните поля X, Y (и Z для 3D) для вектора A и, при необходимости, вектора B. Можно использовать целые и дробные числа.
Выберите операцию
Нажмите на нужную операцию: сложение, произведение, длина, угол и другие. Для 3D доступны дополнительные операции (векторное произведение, площадь).
Получите результат
Нажмите "Рассчитать". Вы увидите числовой результат, пошаговое решение с формулами и графическую визуализацию векторов (для 2D).
Часто задаваемые вопросы
Похожие инструменты
Калькулятор тригонометрии
Вычисление sin, cos, tan, cot, sec, csc. Решение треугольников, радианы/градусы, тригонометрические уравнения.
Инструменты разработчика: Base64, URL, HTML, JSON, YAML
Набор инструментов для веб-разработки: кодирование Base64, URL encode/decode, экранирование HTML, форматтер JSON и конвертер YAML.
Калькулятор управления электродвигателем
Расчёты электроприводов: параметры двигателя, частотный привод, пуск, защита, кабель, энергоэффективность
Калькулятор пчеловодства
Расчёт производства мёда и воска, кормления пчёл на зимовку, экономики пасеки. По нормам ГОСТ 19792-2017 и ветеринарным правилам РФ.
Калькулятор шести сигм (Six Sigma)
Расчёты Six Sigma: уровень сигма, DPMO, DMAIC, выборка, FMEA, поток создания ценности
Калькулятор промышленной автоматизации
Расчёты АСУТП: ПИД-регулятор, датчики, исполнительные механизмы, контуры управления, сети
Калькулятор теории графов
Построение графов, алгоритмы Дейкстры, BFS, DFS, минимальное остовное дерево (Краскал, Прим). Свойства графов.
Калькулятор хеджирования (фьючерсы и опционы)
Рассчитайте коэффициент хеджирования, количество фьючерсов, стоимость и эффективность хеджа. Для MOEX срочного рынка.
Калькулятор шифров и кодов: Base32, Base58, Bcrypt, хэш
Универсальный криптографический калькулятор. Кодирование Base32/Base58, генератор и проверка Bcrypt, вычисление хэшей MD5, SHA-1, SHA-256.
Калькулятор SaaS-метрик: Unit-экономика, MRR, Churn, Runway
Комплексный калькулятор SaaS-метрик: unit-экономика (CAC, LTV, LTV/CAC, ARPU, ARPPU), метрики выручки (MRR, ARR, Quick Ratio), анализ оттока (Churn, NRR, когорты), метрики роста (Rule of 40, T2D3), воронка конверсий и финансовые прогнозы (runway, burn rate).
Калькулятор переработки отходов: вес, деньги, эко-след
Посчитайте вес отходов, потенциальный доход от сдачи вторсырья и ваш вклад в экологию (CO2, деревья).
Калькулятор RLC
Расчет параметров конденсаторов и индуктивностей, постоянной времени RC/RL цепей и резонанса LC контура.
Калькулятор поведенческой психологии: подкрепление, угасание и matching law
Расчёты поведенческой психологии онлайн: графики подкрепления (FR/VR/FI/VI), закон Херрнстейна, дисконтирование Мазура, ABC-анализ.
Калькулятор интерференции и дифракции волн
Интерференция двух волн, опыт Юнга, дифракционная решётка, тонкие плёнки. Визуализация волновых паттернов.
Калькулятор хранения зерна
Расчёт ёмкости зернохранилища, сушки зерна и потерь при хранении. Пшеница, ячмень, кукуруза. По нормам ГОСТ 9353-2016 и требованиям Россельхознадзора.
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.