Калькулятор рядов и прогрессий
Основы теории рядов
Ключевые понятия, которые нужно знать для работы с прогрессиями и рядами.
Арифметическая прогрессия
Последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d к предыдущему. Примеры: 2, 5, 8, 11... (d = 3).
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Сумма всегда конечна для конечного n
Геометрическая прогрессия
Последовательность, где каждый следующий член получается умножением на постоянный знаменатель r. Примеры: 3, 6, 12, 24... (r = 2).
Sₙ = a₁(1 - r^n)/(1 - r)
Бесконечная сумма существует при |r| < 1
Сходимость рядов
Ряд сходится, если его частичные суммы стремятся к конечному пределу при n → ∞. Необходимый признак: общий член стремится к нулю.
lim aₙ = 0
Необходимое, но не достаточное условие
Кому нужен калькулятор рядов?
Прогрессии и ряды применяются в самых разных областях — от школьной математики до инженерных расчётов.
Школьная математика
Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии из учебников 9-11 класса. Быстрая проверка домашних заданий.
Подготовка к ЕГЭ
Задания на прогрессии регулярно появляются в ЕГЭ по математике. Калькулятор помогает разобрать решение пошагово.
Физика
Расчёты колебаний, затухающих процессов, разложение в ряды Фурье для анализа сигналов и волн.
Финансы (аннуитеты)
Расчёт аннуитетных платежей по кредиту — это геометрическая прогрессия. Сложные проценты тоже описываются формулами прогрессий.
Программирование
Анализ сложности алгоритмов (О-нотация), суммирование рядов в вычислениях, генерация последовательностей.
Теория вероятностей
Геометрическое распределение, математическое ожидание через бесконечные ряды, производящие функции.
Формулы и теория
Справочник основных формул для всех типов прогрессий и рядов, реализованных в калькуляторе.
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n - 1) · d
Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2
Sₙ = n · (2a₁ + (n - 1) · d) / 2
d = aₙ₊₁ - aₙ = const
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁ · r^(n - 1)
Sₙ = a₁ · (1 - r^n) / (1 - r), r ≠ 1
S∞ = a₁ / (1 - r), |r| < 1
r = aₙ₊₁ / aₙ = const
Степенной ряд
Σ aₖ · x^k, k = 0, 1, 2, ...
R = 1 / lim sup |aₖ|^(1/k)
R — радиус сходимости
Ряд сходится при |x| < R
Известные ряды
Σ 1/n = ∞ (гармонический, расходится)
Σ 1/n² = π²/6 (задача Базеля)
Σ 1/n! = e - 1
Σ (-1)^(n+1)/n = ln(2)
Углублённые темы
TРяды Тейлора
Ряд Тейлора позволяет представить бесконечно дифференцируемую функцию в виде степенного ряда в окрестности точки a. Это основа для вычисления sin(x), cos(x), e^x в компьютерах.
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a) · (x-a)^n / n!
Примеры разложений:
e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ...
cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...
FРяды Фурье
Ряд Фурье разлагает периодическую функцию в сумму синусов и косинусов. Используется в обработке сигналов, акустике, сжатии данных (JPEG, MP3).
f(x) = a₀/2 + Σ (aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx))
Применения:
- Анализ звуковых волн
- Фильтрация шумов
- Сжатие изображений
- Решение уравнений теплопроводности
FnЧисла Фибоначчи как ряд
Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... — каждый член равен сумме двух предыдущих. Отношение соседних членов стремится к золотому сечению φ ≈ 1.618.
Σ 1/F(n) ≈ 3.3599 (ряд обратных Фибоначчи сходится)
ζДзета-функция Римана
ζ(s) = Σ 1/n^s — одна из важнейших функций в математике. При s = 2 даёт π²/6 (задача Базеля), при s = 1 — гармонический ряд (расходится).
Гипотеза Римана — одна из задач тысячелетия ($1 000 000)
Практические советы
Рекомендации для эффективной работы с рядами и прогрессиями.
Проверяйте необходимый признак
Если общий член aₙ не стремится к 0 при n → ∞, ряд точно расходится. Это быстрая первичная проверка.
Сравнивайте с эталонными рядами
Ряд 1/n^p сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1. Используйте как ориентир для оценки вашего ряда.
Используйте признак Даламбера
Вычислите lim |aₙ₊₁/aₙ|. Если предел < 1, ряд сходится абсолютно. Если > 1, расходится.
Начинайте с малого n
Вычислите несколько первых членов вручную, а затем используйте калькулятор для больших n. Это поможет лучше понять поведение ряда.
Следите за погрешностью
Для сходящихся рядов сравнивайте частичную сумму с точным значением (если оно известно). Разница показывает, достаточно ли членов.
Знакочередующиеся ряды
Для рядов с чередующимися знаками (признак Лейбница): если |aₙ| убывает и стремится к 0, ряд сходится. Погрешность не превышает |aₙ₊₁|.
Как пользоваться калькулятором
Выберите тип ряда
Переключитесь на нужную вкладку: арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, степенной ряд, произвольный ряд или специальные ряды.
Введите параметры
Заполните поля ввода: первый член, разность (или знаменатель), количество членов. Для произвольного ряда введите формулу общего члена.
Изучите результат
Калькулятор мгновенно покажет N-й член, частичную сумму, пошаговое решение с формулами и таблицу всех вычисленных членов.
Проверьте сходимость
Для геометрических и специальных рядов калькулятор автоматически проверяет сходимость и показывает точный предел (если он известен).
Часто задаваемые вопросы
Похожие инструменты
Геотехнический калькулятор: несущая способность грунта, осадка и откосы
Геотехнические расчёты: несущая способность грунта (СП 22), осадка фундамента, давление грунта (Кулон/Ренкин), устойчивость откоса, сваи (СП 24).
Калькулятор зон пульса (ЧСС)
Рассчитайте зоны пульса по формуле Карвонена и %HRmax. 5 тренировочных зон: восстановление, жиросжигание, аэробная, анаэробная.
Калькулятор риска банкротства
Z-score Альтмана, коэффициенты ликвидности и автономии. Анализ по ФЗ-127 для российских компаний.
Калькулятор загрузки грузовика и развесовки по осям
Рассчитайте нагрузки на оси и центр тяжести (CoG) грузовика. Визуализация расположения груза и проверка перегруза.
Калькулятор орбитальной механики: V1, V2, Delta-v
Расчет первой и второй космической скоростей, периода орбиты и маневров (Delta-v) для Земли и других небесных тел.
Универсальный калькулятор дозировок
Расчет дозировки лекарств: по весу ребенка, жидкие формы, скорость капельницы (IV). Справочник для медсестер и родителей.
Калькулятор урожайности
Ожидаемая урожайность культур, потребность в семенах и удобрениях. Пшеница, картофель, кукуруза, овощи.
Калькулятор литья под давлением
Расчёты литья пластмасс: усилие смыкания, впрыск, цикл, охлаждение, пресс-форма, себестоимость
Калькулятор инфляции и покупательной способности
Рассчитайте влияние инфляции на деньги, покупательную способность и необходимую индексацию зарплаты. Учет накопленной инфляции.
Калькулятор эрготерапии: COPM, IADL, динамометрия и эргономика
Эрготерапевтические расчёты онлайн: COPM, шкала Лоутона (IADL), AMPS, сила хвата (Jamar), эргономика рабочего места, FSS.
Калькулятор конденсатора (заряд, энергия, RC)
Расчёт ёмкости, заряда и энергии конденсатора. Соединение конденсаторов, RC-цепь, постоянная времени.
Калькулятор кондитера: пересчет рецептов
Масштабирование рецептов для разных форм, пересчет граммов в стаканы и ложки. Инструмент для кондитеров.
Калькулятор нормы калорий (зигзаг)
Рассчитайте суточную норму калорий, настройте дефицит для похудения и используйте схему Зигзаг для разгона метаболизма.
Калькулятор удобрений NPK
Рассчитайте нормы внесения удобрений для сельскохозяйственных культур. Расчёт NPK баланса, подбор видов удобрений и стоимость применения.
Калькулятор консалтинговых услуг (ставка, проект)
Рассчитайте часовую ставку консультанта, стоимость проекта, рентабельность и ROI. Сравнение с наймом штатного сотрудника.
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.