Интерполяция и аппроксимация
Интерполяция
Интерполяция — это процесс нахождения неизвестных промежуточных значений некоторой функции по имеющемуся дискретному набору её известных значений. Главное требование: интерполяционная функция должна проходить строго через все заданные точки (узлы).
Свойства:
- Ошибка в узлах равна 0
- Чувствительна к выбросам (шуму)
- Используестя для восстановления данных
Аппроксимация
Аппроксимация (приближение) — это построение функции, которая проходит "как можно ближе" к точкам, но не обязательно через них. Это позволяет сглаживать случайные ошибки измерений.
Свойства:
- Минимизирует общую ошибку (обычно сумму квадратов)
- Устойчива к шуму
- Идеальна для моделирования трендов
Обзор методов
Линейная интерполяция
Самый простой метод, соединяющий соседние точки отрезками прямых. Предполагает, что между узлами функция меняется линейно.
f(x) = y₀ + (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀) * (x - x₀)Применение: таблицы, простые графики, заполнение пропусков в рядах данных.
Полиномиальная (Лагранж)
Строит полином степени N-1, проходящий через все N точек. Обеспечивает гладкую функцию, описываемую одной формулой.
Внимание: При большом количестве точек возникает "эффект Рунге" — сильные колебания полинома на краях интервала. Для N > 10 лучше использовать сплайны.
Кубический сплайн
Золотой стандарт интерполяции. Функция разбивается на отрезки, где каждый участок описывается полиномом 3-й степени. Сплайны "сшиваются" в узлах так, чтобы сохранялась гладкость (непрерывность первой и второй производной).
- ✅ Нет осцилляций
- ✅ Высокая точность
- ✅ Естественный вид кривой
- ✅ Стандарт в инженерии
Интерполяция vs Аппроксимация
Ключевое отличие: интерполяция проходит точно через точки, аппроксимация — сглаживает их.
Когда использовать интерполяцию
- • Если данные точны и не содержат шума (табличные значения).
- • Если нужно точное восстановление значений в узлах.
- • Для увеличения разрешения изображений или аудио.
- • При построении гладких траекторий (сплайны).
Когда использовать аппроксимацию (МНК)
- • Экспериментальные данные с погрешностями измерения.
- • Поиск физических законов и зависимостей (тренды).
- • Задача прогнозирования (регрессия).
- • Необходимость компактного описания большого набора данных простой формулой.
Часто задаваемые вопросы
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.
Похожие инструменты
Калькулятор теста для пиццы
Мука, вода, дрожжи и соль для неаполитанской, нью-йоркской и римской пиццы. По количеству и размеру.
Калькулятор загрузки строительного лифта / подъемника
Расчет допустимой нагрузки на строительный лифт или подъемник. Учет веса рабочих, материалов и коэффициента запаса.
Неонатальная дозировка лекарств
Расчёт дозировки лекарств для новорождённых с учётом гестационного возраста и веса. Инфузионная терапия и GIR.
Калькулятор молочного производства
Расчёт нормализации молока по правилу Пирсона, выход молочных продуктов (масло, сыр, творог), себестоимость производства по нормам ТР ТС 033/2013.
Калькулятор размера базы данных
Расчёты БД: размер таблиц, IOPS, память, индексы, репликация, шардирование
Калькулятор A/B теста
Статистическая значимость A/B теста. Размер выборки, p-value, доверительный интервал и мощность теста.
Калькулятор топлива и поездок
Конвертер расхода (MPG ↔ л/100км), расчет стоимости поездки и калькулятор выгоды (акции 2+1, скидки).
Калькулятор гликемической нагрузки
Рассчитайте гликемическую нагрузку (GL) продуктов. Важно для диабетиков и контроля веса. Отличие от ГИ.
Калькулятор аналоговых схем
Расчет коэффициента усиления (Av, Ai, Ap, дБ) и схем смещения биполярных транзисторов (Fixed, Emitter, Divider Bias).
Калькулятор производства: норма выработки, OEE, такт-время
Калькулятор для производства. Рассчитайте норму выработки, такт-время, время цикла и эффективность оборудования (OEE). Инструмент для технологов и мастеров.
Калькулятор игровой физики: баллистика, коллизии, rigid body, частицы
Комплексный инструмент для геймдев-разработчиков. Расчёт траектории снаряда, обнаружение столкновений (AABB, круги), физический тайм-степ, система частиц, динамика твёрдого тела и A* pathfinding.
Калькулятор проверки гипотез (Z-test, t-test, χ², ANOVA)
Статистическая проверка гипотез онлайн. Z-тест, t-критерий Стьюдента, Хи-квадрат и дисперсионный анализ (ANOVA) с расчетом P-value.
Калькулятор пипсов Forex
Стоимость пипса для любой валютной пары. Размер лота, маржа, прибыль/убыток в рублях.
Строительный калькулятор
Расчет бетона, кирпича, плитки, крыши и лестниц. Универсальный калькулятор для ремонта и стройки.
Калькулятор расхода краски
Краска для стен, потолка или фасада. Учёт слоёв, типа поверхности и марки. В литрах и банках.